一、基本概念

(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件;

(2)若A∩B為不可能事件，即A∩B=中，那么稱事件A與事件B互斥;

(3)若A∩B為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件;

(4)當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式:P(AUB)= P(A)+ P/B);

若事件A與B為對(duì)立事件，則AUB為必然事件，所以P(AUB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1-P(B)。

二、概率的基本性質(zhì)

(1)必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1;

(2)當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式:P(AUB)= P(A)+ P(B);

(3)若事件A與B為對(duì)立事件，則AUB為必然事件，所以P(AUB)= P(A)+ P(B)=1于是有P(A)=1-P(B)

(4)互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形:

(1)事件A發(fā)生目事件B不發(fā)生:

(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生:

(3)事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形:

(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生;

(2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。

三、概率的嚴(yán)格定義

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間。對(duì)于E的每一事件A賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率。這里P(·)是一個(gè)集合函數(shù)，P(·)要滿足下列條件:

(1)非負(fù)性:對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A)≥0;

(2)規(guī)范性: 對(duì)于必然事件S，有P(S)=1;

(3)可列可加性: 設(shè)A1，A2.....是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i≠j，Ai∩Aj=γ，(i，j=1,2.....)，則有P(A1UA2 U ......)=P(A1)+P(A2)+......

四、概率的統(tǒng)計(jì)定義

在一定條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，nA為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，如果隨著n逐漸增大，頻率nA/n逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近，則數(shù)值p稱為事件A在該條件下發(fā)生的概率，記作P(A)=p。這個(gè)定義成為概率的統(tǒng)計(jì)定義。

在歷史上，第一個(gè)對(duì)“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n逐漸增大，頻率nA穩(wěn)定在其概率p上”這一論斷給以嚴(yán)格的意義和數(shù)學(xué)證明的是早期概率論中上最重要的學(xué)者雅各布伯努利(Jocob Bernoulli，公元1654年~1705年)。

從概率的統(tǒng)計(jì)定義可以看到，數(shù)值p就是在該條件下該事件A發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)。

由于頻率nA/n總是介于0和1之間，從概率的統(tǒng)計(jì)定義可知，對(duì)任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(O)=1，P(∅)=0。

O，∅中分別表示必然事件(在一定條件下必然發(fā)生的事件)和不可能事件(在一定條件下必然不發(fā)生的事件)。

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